先看一个定积分的计算:
其中第一个等式利用了等式
arcsin(sinx)=x 。
这个计算正确吗？
我们知道，如果g(x)是f(x)的反函数，则
g(f(x))=x。
那么，既然arcsinx 是sinx 的反函数，
就应该有 arcsin(sinx)=x。
果真如此吗？
我们试两个函数值。
当x=π/6时，
arcsin(sin(π/6))= arcsin(1/2) =π/6，
等式arcsin(sinx)=x 成立。
当x=5π/6时，
arcsin(sin(5π/6))= arcsin(1/2) =π/6，
等式arcsin(sinx)=x 不成立。
这是什么原因呢？
原来arcsinx 是sinx在区间[-π/2, π/2]上的反函数。[-π/2, π/2]也是arcsinx 的值域。
所以，当x∈[-π/2, π/2]时，
等式arcsin(sinx)=x 一定成立；
当x不在区间[-π/2, π/2]时，
这个等式就不成立了。
求y=arcsin(sinx) (-π≤x≤π)的表达式。
下面来计算前面那个定积分。
注意:
用数学软件验证一下
川大徐小湛 2019/3/30
