托勒密定理
古埃及天文学家托勒密(~100-168)，在他的著作中不仅描述了行星理论，还包含许多数学三角和几何的知识，在书中，他还给出了π的近似值为377/120，并证明了现在以他的名字命名的定理。
设一个凸四边形ABCD内接一个圆中，那么两个对边的乘积的和等于它两条对角线的乘积。换句话说,：AD⋅BC+AB⋅CD=AC⋅BD.
证明：
在对角线上BD定位一个点M，使角ACB和角MCD相等。由于角BAC和BDC对同一条弧，所以它们相等。因此三角形ABC和DMC是相似的。得到
CD/MD=AC/AB，或
AB⋅CD=AC⋅MD (1)
角度BCM和ACD也是相等的;因此三角形BCM和ACD相似，得到
BC/BM=AC/AD，或
BC⋅AD=AC⋅BM。 (2)
把(1),（2））两个等式加起来就得到了
AB⋅CD + BC= AC⋅MD + AC⋅BM = AC⋅BD
AB⋅CD+BC⋅AD=AC⋅MD+AC⋅BM=AC⋅BD
托勒密定理可以推出一个有用的不等式:对于四个点a, B, C, D，并不一定是共圆的点，
AB⋅CD+BC⋅AD≥AC⋅BD
这就是众所周知的托勒密不等式。
托勒密定理的应用
利用托勒密定理可以证明三角的和差化积公式。如图BC经过圆心，则角BAC=90°角BDC=90°, BC=1, 直接带入托勒密公式就有：
为了证明正弦的两个角的差公式，让边BC作为直径，使BC=1，则角BAC=角BDC=90°, 利用直角三角形得出各边长，带人托勒密公式就证明出：
